Question

Есть простое выражение, где надобно доказать, что результат целое число...
$(\sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{1}{2}})*\sqrt{2-\sqrt{3}} + (\sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{\frac{1}{2}})*\sqrt{2+\sqrt{3}}$

И что-то я никак не вижу решения для этого выражения... Кто-нибудь видит что здесь надо применить?

Answer 1

$(\sqrt{\frac{2}{3} }+\sqrt{\frac{1}{2}})*\sqrt{2-\sqrt{3}} +(\sqrt{\frac{2}{3} }-\sqrt{\frac{1}{2}})*\sqrt{2+\sqrt{3}}=\\\\(\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{2}})*(\sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} )+ (\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}})*(\sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}}-\sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}} )=\\\\=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}*\frac{1}{\sqrt{2} }(\sqrt{3}-1)+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{6}}*\frac{1}{\sqrt{2} }(\sqrt{3}+1) =$

$=\frac{2\sqrt{3}-2+3-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3}}{\sqrt{12} }=\frac{2\sqrt{3} }{2\sqrt{3}}=\boxed1$

При решении были применены формулы сложного радикала :

$1)\sqrt{A+\sqrt{B} } =\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}} +\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}\\\\2)\sqrt{A+\sqrt{B} } =\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^{2}-B}}{2}} -\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^{2}-B}}{2}}\\\\\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3} }{2}} -\sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3} }{2}}=\sqrt{\frac{2+1}{2} } -\sqrt{\frac{2-1}{2} }=\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2} }=\\\\=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{3}-1)$