Question

Комплексные числа. (10-11кл)

Приветствую, господа. Прошу вашей экстренной помощи в великой и ужасной математике. Нужно прорешать любой из двух вариантов (2 или 3). Увы, прошу многого, но нахожусь на грани отчисления и помощи ждать неоткуда.. Заранее благодарю.

P.S. Необходимы ответы с решением, а не просто итог..

P.S.S. В профиле есть то же самое задание, за 60 Баллов, решившему, отдам баллы за оба задание.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1.

$1)\frac{(1+4i)(3i+1)}{(3i-1)(3i+1)} = \frac{3i + 1 - 12 + 4i}{-9-1} = \frac{7i-11}{-10} \\=-\frac{7}{10}i + \frac{11}{10}\\\\2)8-8i+2i + 2 = -6i + 10\\\\3)-12$

2.

$Z_1 = 6(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} ) = 6(cos(\pi/2) + isin(\pi/2))\\Z_2 = \sqrt{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) \\= \sqrt{2}(-cos(3\pi/4) + sin(3\pi/4)) \\\\1)3\sqrt{2}(i+1)(i-1) =3\sqrt2(-1-1)=-6\sqrt2\\\\2)3\sqrt2 * \frac{i+1}{i-1} * \frac{i+1}{i+1} = 3\sqrt2 * \frac{-1+2i+1}{-1-1}\\=3\sqrt2 * (-i) = -i3\sqrt2 \\\\3)(i-1)^4 = (-1 -2i +1)^2 = -4$

3.

$Z_1 = cos(4\pi/3 + 2\pi k) + isin(4\pi/3 + 2\pi k) = e^{i(\frac{4\pi}{3}+2\pi k)}\\Z_2 = 5(0-i) = 5(cos(3\pi/2 +2\pi m) + isin(3\pi/2 + 2\pi m)) = 5e^{i(\frac{3\pi}{2} +2\pi m)}\\\\1)e^{i(\frac{4\pi}{3}+2\pi k)}*5e^{i(\frac{3\pi}{2} +2\pi m)} = 5e^{i(\frac{17\pi}{6} +2\pi (k+m))}\\\\2)\frac{e^{i(\frac{4\pi}{3}+2\pi k)}}{5e^{i(\frac{3\pi}{2} +2\pi m)}} = \frac{1}{5}e^{i(-\frac{\pi}{6} +2\pi (k-m))} \\\\3)(5e^{i(\frac{3\pi}{2} +2\pi m)})^2 = 25e^{i(3\pi+4\pi m)} = 25e^{i\pi (3+4m)}$

4.

$Z = \frac{Z_1 * Z_2}{Z_3}\\\\ Z_1 = \frac{1}{3} (1-i) = \frac{1}{3}\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2} - i\frac{\sqrt2}{2} ) \\= \frac{\sqrt2}{3} (cos(-\pi/4 + 2\pi k) + isin(-\pi/4 + 2\pi k)) = \frac{\sqrt2}{3}e^{i(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k )}\\\\Z_2 = \sqrt2(\frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}) = \sqrt2(cos(\pi/4 + 2\pi m) + isin(\pi/4 + 2\pi m))\\=\sqrt2e^{i(\frac{\pi}{4} + 2\pi m)}$

$Z_3 = 2\sqrt3(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt3}{2}) = 2\sqrt3(cos(4\pi/3 + 2\pi n) + isin(4\pi/3 + 2\pi n))\\=2\sqrt3e^{i(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n)}$

$Z = \frac{\frac{\sqrt2}{3}e^{i(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k )} * \sqrt2e^{i(\frac{\pi}{4} + 2\pi m)}} {2\sqrt3e^{i(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n)}} = \frac{\sqrt{3} }{9} *\frac{e^{i(-\frac{\pi}{4} + 2\pi k )} * e^{i(\frac{\pi}{4} + 2\pi m)}} {e^{i(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n)}}\\=\frac{\sqrt{3} }{9} *e^{i(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} + 2\pi k + 2\pi m- \frac{4\pi}{3} - 2\pi n)} = \frac{\sqrt{3} }{9} e^{i(-\frac{4\pi}{3} + 2\pi c)}\\= \frac{\sqrt{3} }{9}(cos(- \frac{4\pi}{3}) + isin(- \frac{4\pi}{3}))$

$=\frac{\sqrt{3} }{9}(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{18} + i\frac{1}{6}$

Хватит на сегодня Латекса...