Question

Задана функция y=f(x), и два значения аргумента х1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента
2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа
3) сделать чертеж

f(x)=3^(1/(4-x))
x1=2, x2=4

Answer 1

$f(x)=3^{\frac{1}{4-x} }\\ \\ 1) \ f(2)=3^{\frac{1}{4-2} }=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

функция непрерывна в точке x=2 (на чертеже точка закрашена)

$2) \ f(4)=3^{\frac{1}{4-4} }=3^{\frac{1}{0} }$

на 0 делить нельзя, функция не определена в точке x=4

$a) \ \lim\limits_{x \to 4-0} 3^{\frac{1}{4-x} }=3^{\frac{1}{4-(4-0)} }=3^{\frac{1}{+0} }=3^{+\infty }=+\infty \\ \\ b) \ \lim\limits_{x \to 4+0} 3^{\frac{1}{4-x} }=3^{\frac{1}{4-(4+0)} }=3^{\frac{1}{-0} }=3^{-\infty }=\frac{1}{3^{+\infty}} =\frac{1}{+\infty} =0$

Так как хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, x=4 - точка неустранимого разрыва 2-го рода (на чертеже точка (4;0) выколота)