Question

Решить тригонометрческие уравнения на фото

Answer 1

1.

$2 \sin {}^{3} (x) - \sin {}^{2} (x) \cos(x) - 13 \sin(x) \cos {}^{2} (x) - 6 \cos {}^{3} (x) = \sin( \frac{\pi}{3} + x) - \cos( \frac{\pi}{6} - x)$

Работаем с правой частью уравнения:

$\sin( \frac{\pi}{3} + x ) - \cos( \frac{\pi}{6} - x) = \sin( \frac{\pi}{3} ) \cos(x) + \cos( \frac{\pi}{3} ) \sin(x) - \cos( \frac{\pi}{6} ) \cos(x) - \sin( \frac{\pi}{6} ) \sin(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos(x) + \frac{1}{2} \sin(x) - \frac{ \sqrt{3} }{2} \cos(x) - \frac{1}{2} \sin(x) = 0$

Возвращаемся у уравнению:

$2 \sin {}^{3} (x) - \sin {}^{2} (x) \cos(x) - 13 \sin(x) \cos {}^{2} (x) - 6 \cos {}^{3} (x) = 0$

Заметим, что данное уравнение представляет собой однородное уравнение 3-й степени, поэтому разделим обе части на $\cos^{3}(x)$, в таких уравнениях это вполне законно:

$2 \frac{ \sin {}^{3} (x) }{ \cos {}^{3} (x) } - \frac{ \sin {}^{2} (x) \cos(x) }{ \cos {}^{3} (x) } - 13 \frac{ \sin(x) \cos {}^{2} (x) }{ \cos {}^{3} (x) } - 6 = 0 \\ 2 \tan {}^{3} (x) - \tan {}^{2} (x) - 13 \tan(x) - 6 = 0$

Легко подобрать корень уравнения, затем за теоремой Безу найти оставшиеся корни (либо же просто методом группировки):

$\left[ \begin{gathered} \tan(x) = - 2 \\ \tan(x) = - \frac{1}{2} \\ \tan(x) = 3 \end{gathered} \right. \\ \left[ \begin{gathered} x = - \arctg(2) + \pi n \\ x = - \arctg( \frac{1}{2} ) + \pi m \\ x = \arctg(3) + \pi k \end{gathered} \right.$

2. Второе уравнение уже решено (см. в профиле).