• Предмет: Математика
  • Автор: FLAME2003
  • Вопрос задан 3 года назад

xy'=2sqrt(x^2+y^2)+y​ решить дифференциальное уравнение

Ответы

Ответ дал: Miroslava227
3

Ответ:

Однородное ДУ

xy' = 2 \sqrt{ {x}^{2} +  {y}^{2}  }  + y \:  \:  \:  |  \div x  \\ y = 2 \frac{ \sqrt{ {x}^{2} +  {y}^{2}  } }{x}  +  \frac{y}{x}  \\  y = 2 \times  \sqrt{ \frac{ {x}^{2} +  {y}^{2}  }{ {x}^{2} } }  +  \frac{y}{x}  \\  y = 2 \times  \sqrt{1 +  \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } }  +  \frac{y}{x}

замена:

 \frac{y}{x}  = u\\ y' = u'x + u

u'x + u = 2 \sqrt{1 +  {u}^{2} }  + u \\  \frac{du}{dx} x = 2 \sqrt{1 +  u {}^{2}  }  + u - u \\ \int\limits \frac{du}{ \sqrt{1 +  {u}^{2} } }  = 2\int\limits \frac{dx}{x}  \\  ln( |u +  \sqrt{1 +  {u}^{2} } | )  = 2 ln( |x| )  +  ln(C)  \\  ln( |u +  \sqrt{1 +  {u}^{2} } | )  =  ln(Cx^2)  \\ u +  \sqrt{1 +  {u}^{2} }  =  Cx^2 \\  \frac{y}{x}  +  \sqrt{1 +  \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } }  = Cx^2

общее решение


serikarnal6: СПАСИБО !!!!
Вас заинтересует