Дан правильный 6-угольник с периметром 30см. Найдите радиус описаной и вписаной окружностей этого 6-угольника
РЕШИТЕ ДАМ 25 БАЛЛОВ
Ответы
Ответ:
R = 5 см; r = 5√3/2 см
Объяснение:
Задание
Дан правильный 6-угольник с периметром 30 см.
Найдите радиус описанной и вписанной окружностей этого 6-угольника.
Решение
1) Радиус R окружности, описанной около правильного 6-угольника, равен стороне а этого шестиугольника:
R = 30 : 6 = 5 см
ПРИМЕЧАНИЕ
Действительно, 6-угольник можно разбить на 6 равных треугольников, у которых углы при вершине равны: 360° : 6 = 60°, а боковые стороны равны радиусу окружности, в которую вписан этот 6-угольник. А если боковые стороны равны - значит, все 6 треугольников равнобедренные, и углы при основании у них равны:
(180 - 60) : 2 = 60°. Получается, что все углы равны 60° - значит, все 6 треугольников равносторонние, то есть боковые стороны (они же - радиусы) равны стороне 6-угольника.
2) Радиус r окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной а, равен высоте h правильного треугольника со стороной а:
r = h = a · √3/2 = 5√3/2 см
ПРИМЕЧАНИЕ
Радиус вписанной окружности - это кратчайшее расстояние от центра правильного 6-угольника до центра его стороны, то есть длина высоты равностороннего треугольника со стороной а = 5 см. В таком треугольнике сторона 5 см является гипотенузой, а высота h (катет) лежит против угла 60°: катет равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего этому катету:
h = 5 · sin 60 ° = 5 · √3/2 см ≈ 5 · 1,732 : 2 ≈ 4,33 см
Ответ: R = 5 см; r = 5√3/2 см ≈ 4,33 см