Question

Дифференцированое уравнение с разделяющимеся переменными 1 порядка ​

Answer 1

1.

а

$ydy = xdx \\ \int\limits \: ydy =\int\limits \: xdx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} + C \\ {y}^{2} = {x}^{2} + C$

общее решение

б

$\sqrt{x} dx = \sqrt{y} dy \\ \int\limits \sqrt{y} dy = \int\limits\sqrt{x} dx \\ \frac{ {y}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{ {x}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + C\\ \frac{2}{3} y \sqrt{y} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C \\ y \sqrt{y} = x \sqrt{x} + C$

общее решение

в

${y}^{2} dx = (x - 2)dy \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = \int\limits \frac{dx}{x - 2} \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = \int\limits \frac{d(x - 2)}{x - 2} \\ - \frac{1}{y} = ln( |x - 2| ) + C \\ \frac{1}{y} = - ln( |x - 2| ) + C$

общее решение

г

$(y + 1)dx = (x - 1)dy \\ \int\limits \frac{dy}{y + 1} = \int\limits \frac{dx}{x - 1} \\ ln( |y + 1| ) = ln( |x - 1| ) + ln(C) \\ y + 1 = C(x - 1)$

общее решение

2.

а

$xdy = ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(y) = ln(x) + ln(C) \\ y = Cx$

общее решение

$y(2) = 6$

$6 = 2 \times C \\ C = 3$

$y = 3x$

частное решение

б

$(1 + y)dx = (1 - x)dy \\ \int\limits \frac{dy}{y + 1} = - \int\limits \frac{dx}{x - 1} \\ ln( |y + 1| ) = - ln( |x - 1| ) + ln(C) \\ y + 1 = \frac{C}{x - 1}$

общее решение

$y( - 2) = 3$

$3 + 1 = \frac{C}{ - 3} \\ C= - 12$

$y + 1 = \frac{ - 12}{x - 1} \\ y = \frac{ - 12 - x + 1}{x - 1} \\ y = \frac{ - x - 11}{x - 1} \\ y = \frac{x + 11}{1 - x}$

частное решение

в

$\frac{dy}{ {x}^{2} } = \frac{dx}{ {y}^{2} } \\ \int\limits {y}^{2} dy = \int\limits {x}^{2} dx \\ \frac{ {y}^{3} }{3} = \frac{ {x}^{3} }{3 } + C\\y^3=x^3+C$

общее решение

$y(0) = 2$

$8 = 0 + C \\ C= 8$

$\\ {y}^{3} = {x}^{3} + 8$

частное решение