Question

Периметр треугольника равен 12. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы  одной из его вершин больше 2.

Answer 1

Одно из основных свойств треугольника:
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности
( a < b + c,  
a > b – c;  
и это верно для каждой стороны любого треугольника.
Сумма двух сторон треугольника  периметра 12
должна быть обязательно больше его полупериметра, иначе треугольник не получится.
И поэтому расстояние от любой точки плоскости - независимо от того, вне или внутри треугольника точка-   до хотя бы одной из вершин этого треугольника будет больше половины длины большей его стороны, т.е. больше 2.
 Предположим, существует такая точка, расстояние от которой до вершин треугольника не больше 2-х.
 Тогда она при соединении с каждой парой вершин треугольника должна образовать треугольник, сумма длин двух сторон которого 4 или меньше,
а третья сторона  - обязательно меньше этой суммы по одному из основных свойств треугольника.
Это верно для каждой пары вершин, и в итоге получится, что
 каждая сторона исходного треугольника меньше 4, а его периметр  меньше 12,
что противоречит условию задачи.  
 Следовательно, расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин треугольника с периметром 12 больше 2-х, что и требовалось доказать.
-----
[email protected]