Question

Дано уравнение y'+y=e^x. Найдите интегральную кривую данного уравнения, проходящую через точку (0; 2)

Answer 1

Ответ:

$y'+y=e^{x}\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+uv=e^{x}\ \ ,\ \ \ u'v+u\, (v'+v)=e^{x}\\\\\\a)\ \ v'+v=0\ \ ,\ \ \displaystyle \int \frac{dv}{v}=-\int dx\ \ ,\ \ \ ln|v|=-x\ \ ,\ \ \underline{\ v=e^{-x}\ }\\\\\\b)\ \ u'\cdot e^{-x}=e^{x}\ \ ,\ \ \ \int du=\int \frac{e^{x}}{e^{-x}}\, dx\ \ ,\ \ \int du=\int e^{2x}\, dx\ \ ,\\\\\\u=\frac{1}{2}\, e^{2x}+\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\cdot (e^{2x}+C)\\\\\\c)\ \ y=\frac{1}{2}\, e^{-x}\cdot (e^{2x}+C)=\frac{1}{2e^{x}}\cdot (e^{2x}+C)$

$d)\ \ M(0;2):\ \ 2=\dfrac{1}{2e^0}\cdot (e^0+C)\ \ ,\ \ \ 2=\dfrac{1}{2}\cdot (1+C)\ \ ,\ \ 1+C=4\ ,\ C=3\ ,\\\\\\\boxed{\ y_{chastn.}=\dfrac{1}{2e^{x}}\cdot (e^{2x}+3)\ }$