Question

Помогите пожалуйста с решением!!

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)

y'' +49y =0

y=eⁿˣ

n²eⁿˣ +49eⁿˣ = 0

eⁿˣ(n²+49)=0

т.к. еⁿˣ  ≠ 0, то n² +49 = 0  ⇒ n₁ = 7i  n₂ = -7i

$\displaystyle y_1(x) = c_1e^{7ix} \qquad y_2=c_2e^{-7ix}$

$\displaystyle y(x) = c_1e^{7ix}+c_2e^{-7ix}$

поскольку     $\displaystyle e^{\alpha +i\beta }=e^\alpha cos\beta +ie^\alpha sin\beta$ , можем сделать преобразования

$\displaystyle y(x) = c_1(cos(7x)+isin(7x)+c_2(cos (7x)-isin(7x))$

после перегруппировки и переназначения констант (с₁ +с₂)= с₁

и   i(с₁-с₂)=с₂ получим красивое решение

y(x) = c₁ cos(7x) +  c₂ sin(7x)

2)

y''-3y'-28y = 0

y= eⁿˣ

n²eⁿˣ -3neⁿˣ -28eⁿˣ = 0

всё аналогично первому примеру

получим

n² -3n -28 = 0   n₁= -4   n₂= 7

y₁(x) = c₁e⁻⁴ˣ

y₁(x) = c₂e⁷ˣ

y(x) = c₁e⁻⁴ˣ + c₂e⁷ˣ

3)

y'' + 2y' +y =0

y= eⁿˣ

n²eⁿˣ +2neⁿˣ +1eⁿˣ = 0

n² +2n +1 = 0   n₁= -1   n₂= -1

y₁(x) = c₁e⁻ˣ

y₁(x) = c₂xe⁻ˣ

y(x) = c₁e⁻ˣ + c₂xe⁻ˣ