Question

мать дарит каждый из пяти своих дочерей в день рождения начиная с 5 лет Столько книг Сколько , сколько дочери лет возрасты 5 дочерей составляют арифметическую прогрессию разность которой равна двум Сколько лет была старше дочери Когда у них состоялась библиотека общей численностью 495 книг ​

Answer 1

Ответ:

когда библиотека стала насчитывать  495 книг, старшей дочери исполнилось  18 лет,

Пошаговое объяснение:

Пусть  на момент когда книг стало 495

первой дочери было       х лет;

тогда

второй дочери                 (х + 2) года;

третьей дочери                (х+4) года;

четвертой дочери           (х+6) лет;

пятой дочери                   (х+8) лет.

С возрастом разобрались.

Теперь будем считать книги.

Для каждой дочери будем составлять арифметическую прогрессию,  где члены прогрессии - количество подаренных книг каждый год.

первый член прогрессии, всегда 5, второй 6, .... Aₙ  -  до тех пор, пока книги дарились (т.е. пока библиотека не стала содержать 495 книг).

Наша задача - найти для каждой дочери сколько лет дарились книги (n) и сколько книг каждой дочери подарили (Sₙ)

Первая дочь.

первый год     с₁ = 5 книг;

второй год      с₂ = 6 книг;

........

последний год   сₙ = x книг. (х лет, х книг -как по условию)

Сколько лет ей дарили книги?  

n = (x-4) года   (х лет минус   первые четыре года, книги дарили с пяти лет).

И ей подарили по формуле арифметической прогрессии

$\displaystyle \boldsymbol {S_1}=\frac{c_1+c_n}{2} *n=\frac{5+x}{2} *(x-4)=\boldsymbol {\frac{(6+x)(x-4)}{2} }$ (книг)

Вот ради этой последней суммы мы все и расписывали.

Вторая дочь

Аналогично распишем для второй дочери.

Я уже не буду писать  подробно, просто запишу члены арифметической прогрессии, количество членов и сумму.

d₁ = 5; d₂=6; ..... dₙ = x+2            n = x + 2 -4 = x-2

$\displaystyle \boldsymbol {S_2}=\frac{d_1+d_n}{2} *n=\frac{5+x+2}{2} *(x-2)=\boldsymbol {\frac{(7+x)(x-2)}{2} }$ (книг)

Третья дочь

e₁ = 5; e₂=6; ..... eₙ = x+4            n = x + 4 -4 = x

$\displaystyle \boldsymbol {S_3}=\frac{e_1+e_n}{2} *n=\frac{5+x+4}{2} *x=\boldsymbol {\frac{(9+x)*x}{2} }$  (книг)

Четвертая дочь

f₁ = 5; f₂=6; ..... fₙ = x+6            n = x + 6 -4 = x +2

$\displaystyle \boldsymbol {S_4}=\frac{f_1+f_n}{2} *n=\frac{5+x+6}{2} *(x+2)=\boldsymbol {\frac{(11+x)*(x+2)}{2} }$ (книг)

Пятая дочь

g₁ = 5; g₂=6; ..... gₙ = x+8            n = x + 8 -4 = x +4

$\displaystyle \boldsymbol {S_4}=\frac{g_1+g_n}{2} *n=\frac{5+x+8}{2} *(x+4)=\boldsymbol {\frac{(13+x)*(x+4)}{2} }$ (книг)

Теперь нам осталось только посчитать весь этот ужас и найти х.

S = S₁ + S₂ +S₃ + S₄ + S₅

и известно, что S = 495.

Я запишу эту огромную сумму, но промежуточные умножения скобка на скобку и приведение подобных я опущу.

$\displaystyle 495=\frac{(x+5)(x-4)+(x+7)(x-2)+x(x+9)+(x+11)(x+2)+(x+13)(x+4)}{2}$

После умножения скобок и приведения подобных мы получим

$\displaystyle 495=\frac{5x^2+45x-40}{2} \\\\\\5x^2+45x+40-990=0\\\\x^2+9x -190 = 0\\\\x_1=10;\qquad x_2=-19$

x₂ нам не подходит, - возраст не может быть отрицательным.

Значит, наше решение х₁ = 10.

Вернемся к нашим обозначениям.

Таким образом, мы нашли, сколько лет было младшей дочери, когда библиотека насчитывала 495 книг.

Тогда старшей дочери было (10лет + 8лет) = 18 лет.