Question

Помогите решить Интеграл пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ {x}^{3} dx}{1 + \sqrt[3]{ {x}^{4} + 1} } \\ \\ {x}^{4} + 1 = t \\ 4 {x}^{3} dx = dt \\ {x}^{3}dx = \frac{dt}{4} \\ \\ \frac{1}{4} \int\limits \frac{dt}{1 + \sqrt[3]{t} } \\ \\ \sqrt[3]{t} = z \\ \frac{1}{3 \sqrt[3]{t {}^{2} } } dt = dz \\ dt = 3 \sqrt[3]{ {t}^{2} } dz = 3 {z}^{2} dz \\ \\ \frac{1}{4} \int\limits \frac{3 {z}^{2}dz }{z + 1} = \frac{3}{4} \int\limits \frac{ {z}^{2} }{z + 1} dz = \\ = \frac{3}{4} \int\limits \frac{ {z}^{2} - 1 + 1 }{z + 1} dz = \\ = \frac{3}{4} \int\limits \frac{ {z}^{2} - 1}{z + 1} + \frac{3}{4} \int\limits \frac{dz}{z + 1} = \\ = \frac{3}{4} \int\limits \frac{( z- 1)(z + 1)}{z + 1} dz+ \frac{3}{4} \int\limits \frac{d(z + 1)}{z + 1} = \\ = \frac{3}{4} \int\limits(z - 1 )dz+ \frac{3}{4} ln( |z + 1| ) = \\ = \frac{3}{4} ( \frac{ {z}^{2} }{2} - z + ln( |z + 1| ) ) + C= \\ = \frac{3}{4} ( \frac{ \sqrt[3]{ {t}^{2} } }{2} - \sqrt[3]{t} + ln( | \sqrt[3]{t} + 1 | ) ) + C= \\ = \frac{3}{8} \sqrt[3]{ {( {x}^{4} + 1)}^{2} } - \frac{3}{4} \sqrt[3]{ {x}^{4} + 1 } + \frac{3}{4} ln( | \sqrt[3]{ {x}^{4} + 1} | ) + C$