100 баллов даю))) Cрочно. Доказать что для любого n 2 ^(5n+3) + (5^n) · (3^n+2) делится 17
Аноним:
Тут вроде даже n=1 не делится
У меня почему - то делится 2^(5×1+3)+5×3^(3) будет 391 на 17 и равняется 23
Там 3^n +2, а не 3^(n+2)
Прошу прощение там 3^(n+2)
2^(5n+3) + (5^n) · (3^(n+2)) = 2^3 * 2^(5n) + 9 * 15^n = 8*32^n + 9*15^n = 8*(17+15)^n + 9*15^n = 8*(17^n + a*17^(n-1)*15 + b*17^(n-2)*15^2 + ... + z*17*15^(n-1) + 15^n) + 9*15^n = W*17 + 8*15^n + 9*15^n = W*17 + 17*15^n = 17 * (W + 15^n)
W = 8*(17^(n-1) + a*17^(n-2)*15 + b*17^(n-3)*15^2 +...+ z*15^(n-1)), a, b,..., z - целочисленные коэффициенты разложения бинома Ньютона
Ответы
Ответ дал:
2
Відповідь:
Покрокове пояснення:
2 ^(5n+3) + (5^n) · 3^(n+2) =(2^5)^n×2^3+5^n ×3^n×3^2 =32^n×8+15^n×9= 8×(15+17)^n+9×15^n=8(15^n+n15^(n-1) ×17+C(n,2)×15^(n-2)×17^2+...+17^n)+9×15^n=8(n15^(n-1) ×17+C(n,2)×15^(n-2)×17^2+...+17^n)+(8+9)×15^n =8(n15^(n-1)× 17 +C(n,2)×15^(n-2)×17^2+...+17^n)+17×15^n
Так как первое слогаемое и второе содержат в произведении 17, то все виражение кратно 17
Если винести 17, то имеем
=17(n15^n+C(n,2)×15(n-1)×17+C(n,3)×15^(n-2)×17^2 +...+17^(n-1)+15^n)
имеем произведение 17 на число → все виражение кратно 17
Вас заинтересует
2 года назад
2 года назад
8 лет назад