Question

y"+81y=0 y(0)=0 y'(0)=-9

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

сначала решаем общее уравнение

$\displaystyle y = e^{\lambda x} \quad \Rightarrow \quad \lambda ^2e^{\lambda x}+81e^{\lambda x}=0\quad e^{\lambda x}\neq 0 \rightarrow \lambda^2=-81$    $\lambda =\pm 9i$

$\displaystyle y(x) = c_1e^{9ix}+c_2e^{-9ix}$

поскольку   $\displaystyle e^{\alpha +i\beta }=e^\alpha cos\beta +ie^\alpha sin\beta$, мы можем получить

y(x) = c₁(cos(9x) + isin(9x)) + c₂(cos(9x) - isin(9x))

после несложных преобразований и перегруппировки констант получим

y(x) = c₁cos(9x) +c₂sin(9x)

теперь задача Коши

y(0) = 0       c₁ = 0

y'(x) = -9sin(9x)c₁ +9cos(9x)c₂

y'(0) = 9    9c₂=9     c₂ = 1

и вот ответ

y(x) = sin(9x)