Question

Помогите вычислить длину линии, ограниченной астроиды x=3cos^3(t), y=3sin^3(t)

На рисунке изобразил задание. Выписал формулу, нашел обе производных. Прошу только помочь с нахождением определенного интеграла. (На рисунке все написано правильно). За ранее спасибо!

Answer 1

Ответ:1,125

Пошаговое объяснение:I=∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴ 9·|Cost|·|Sint|dt=

т.к. π/6≤t≤π/4, то Sint≥0, Cost≥0 ⇒ |Cost|=Cost , |Sint|=Sint  

=∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴ 9·Cost·Sint dt=∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴ 4,5· (2Cost·Sint) dt=4,5∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴ Sin (2t)dt=

=2,25·∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴ Sin (2t)d(2t)= - 2,25 ·Cos(2t) |∫ₙ₍₆ⁿ⁽⁴=  

=- 2,25·(Cos π/2 - Cos π/3)= -2,25 ·(0-0,5)=1,125