Question

Три положительных числа x, y, z таковы, что
x+y+z+4/x+9/y+25/z=20
Найдите сумму x+y+z.

Answer 1

Ответ:

$x + y + z = 10$

Пошаговое объяснение:

$x + y + z + \frac{4}{x} + \frac{9}{y} + \frac{25}{z} = 20 \\ \tfrac{ {x}^{2} - 4x + 4 }{x} + \tfrac{ {y}^{2} - 6y + 9}{y} + \tfrac{z^{2} - 10z + 25 }{z} = 0$

Преобразуем уравнение:

$x + \frac{4}{x} +y + \frac{9}{y} + z +\frac{25}{z} = 20 \\x + \frac{4}{x} +y + \frac{9}{y} + z +\frac{25}{z} - 20 = 0 \\x{ - }4 {+} \frac{4}{x}+y{ - }6{ + }\frac{9}{y}+ z { - }10{ +}\frac{25}{z} = 0\\ \tfrac{ {x}^{2} - 4x + 4 }{x} + \tfrac{ {y}^{2} - 6y + 9}{y} + \tfrac{z^{2} - 10z + 25 }{z} = 0 \\ \tfrac{( {x} - 2)^{2} }{x} + \tfrac{ ({y} - 3)^{2} }{y} + \tfrac{(z-5)^{2} }{z} = 0$

Нам известно, что х,у,z - положительные, т.е.:

$x > 0;\: \: y > 0;\: \: z > 0 \\ \forall \: {x};\: \:y;\: \:z: \begin{cases} {(x - 2)}^{2} \geqslant 0 \\ {(y - 3)}^{2} \geqslant 0 \\ {(z - 5)}^{2} \geqslant 0\end{cases}$

Для того, чтоб начальное тождество выполнялось,

x, y ,z должно быть такими, чтобы

$\small{\begin{cases} {(x{ - }2)}^{2}{ =} 0 \\ {(y{ -} 3)}^{2} { =} 0 \\ {(z {-} 5)}^{2} { = }0\end{cases} \: { < } {= >} \begin{cases} x {-} 2 = 0 \\ y{ -} 3 = 0 \\ z {- }5 = 0\end{cases} \: }{ < } {= >} \begin{cases} x { = } 2 \\ y{ = } 3 \\ z { = }5 \end{cases}$

Получается, что

х = 2; у = 3; z = 5

- единственное решение заданного уравнения в положительных числах.

Соответственно

$x + y + z \: = 2 + 3 + 5 = 10$