Question

Найдите площадь боковой поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

если B1D = 20 см, AD = 8 см, угол B1DB = 60°.

Answer 1

Ответ: площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 280√3 см²; объём прямоугольного параллелепипеда равен 480√3 см³

Объяснение:

ΔB₁BD - прямоугольный, так как ABCDA₁B₁CD₁ - прямоугольный параллелепипед.

• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

⇒ ∠BB₁D = 90° - ∠B₁DB = 90° - 60° = 30°

• Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 30°, то противолежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ BD = B₁D : 2 = 20 : 2 = 10 см

• Если в прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, то противолежащий катет равен произведению меньшего катета на √3.

⇒ BB₁ = BD · √3 = 10 · √ 3 = 10√3 см

или по другому:

Найдём BB₁ по теореме Пифагора:

$BB_1 = \sqrt{B_1D^2-BD^2} = \sqrt{20^2-10^2} = \sqrt{400-100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ см

• Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник.

То есть ΔABD - прямоугольный

По теореме Пифагора найдём AB:

$AB= \sqrt{BD^2-AD^2} = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{100-64} = \sqrt{36} = 6$ см

• S бок. поверхн. = P основ. · BB₁ (произведение периметра основания параллелепипеда на высоту параллелепипеда)

P основ. - периметр прямоугольника ABCD

⇒ P основ. = (AB + AD) · 2 = (6 + 8) · 2 = 14 · 2 = 28 см

⇒ S бок. поверхн. = 28 · 10√3 = 280√3 см²

• V = AB · AD · BB₁ (произведение всех 3 измерений параллелепипеда - длины, ширины и высоты)

V = 6 · 8 · 10√3 = 48 · 10√3 = 480√3 см³