Question

Помогите пожалуйста с уравнением

Answer 1

Ответ:

$\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y + 2xy}$

Answer 2

Дифференциальное уравнение 1-го порядка - уравнение Бернулли (!)

имеет общий вид:

y' = p(x) · y + g(x) · yⁿ

В нашем случае p(x) = 1;

$g(x)=x\cdot e^{2x}$

n = -1

Делим обе части на y⁻¹ (то есть умножаем на y) получаем:

$y\cdot y'-y^2=xe^{2x}$

Обозначим y² = z, тогда z' = 2y · y', а значит y · y' = 0,5z' получаем:

$0,5z' - z = x\cdot e^{2x}$

- Линейное неоднородное уравнение 1-го порядка.

Решение ищем в виде z = u(x) · v(x), тогда z' = u'v + uv'. Подставляем в уравнение и получаем:

$0.5\cdot(u'v+uv') - uv = x\cdot e^{2x}$

Умножаем обе части на 2 и перегруппировываем:

(*)

$u'v+u(v'-2v)=2x\cdot e^{2x}$

(*)

Приравниваем выражение в скобках нулю (метод решения линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка)

v' - 2v = 0

v' = dv / dx

dv = 2v·dx

dv / v = 2 dx

Интегрируем обе части:

ln |v| = 2x

$v=e^{2x}$

Возвращаемся к (*)

$u'e^{2x}=2x\cdot e^{2x}$

u' = 2x

du = 2xdx

Интегрируем:

u = x² + C

Окончательно получаем:

$z=u(x)v(x)=(x^2+C)e^{2x}$

$y^2=(x^2+C)e^{2x}$

$y=\pm e^x\sqrt{x^2+C}$