Question

Богдан придумывает пароль к Wi-Fi. В нем будет 8 цифр. Цифра в его
пароли должна повторяться столько же раз, сколько ее значение.
Одинаковые цифры пароля записываются подряд, например, 22666666 или
33355555.
Сколько разных паролей он может использовать?

Answer 1

Ответ:

6 паролей

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

540

Пошаговое объяснение:

Если у нас есть цифра восемь, то пароль однозначен: 8888 8888

Если у нас есть цифра семь, то пароль будет состоять из одной единички и семи семерок. Если мы выберем место для единички, то оставшиеся места заполним семерками: например 1 _ _ _ _ _ _ _, _ 1 _ _ _ _ _ _ и т.д.

Итого, восемь вариантов.

Если у нас есть цифра шесть, то пароль будет состоять из шести шестерок и двух двоечек. Тогда здесь включаются формулы комбинаторики: $C_{8}^{2}$ способов разместить двоечки. В оставшиеся мы поместим шестерки. Итого, $C_{8}^{2} = 28$.

Если у нас есть цифра пять, то тут уже появляются варианты.

Вариант 1. пять пятерок и три тройки. Тогда выберем сначала места для троек, а в оставшиеся поставим пятерки. Тогда $C_{8}^3 = 56$.

Вариант 2. Пять пятерок, две двойки, одна единичка. Выберем места для единички - их восемь, для двоек выберем два места из семи оставшихся. Тогда $8 * C_{7}^2 = 8 * 21 = 168$. (Поясню, вначале мы выбираем одно место из восьми для единичек, после выбираем два места для двоечек. Оставшиеся места будут заполнены пятерками)

Если у нас есть цифра четыре, то также рассмотрим варианты

Вариант 1. четыре четверки, три тройки, одна единичка. Аналогично выберем сначала одно место для единички - 8, после выберем три места для троек - $C_{7}^{3}$, в оставшиеся поставим четверки. Тогда $8 * C_{7}^3 = 8 * 35 = 280$.

Вариант 2. четыре четверки, две двойки, одна единичка. а стоп, у нас семь цифр, надо восемь. Значит вариантов больше нет, и рассматривать дальше случаи не надо, т.к. нам не хватит цифр.

Тогда итого получаем ответ, 8 + 28 + 56 + 168 + 280 = 540

В целом, комбинаторика вещь интересная и следует ее лучше понять, как образованы все формулы.