Question

Дам 60 баллов помогите,доказать тождество​

Answer 1

Преобразуем левую часть

1) числитель по формулам приведения  и двойного угла

sin( π/2+3α)=cos3α=cos(2*3α/2)= cos²(3α/2)-sin²(3α/2)

2) знаменатель  1-sin( 3α-π)= 1-sin( -(π-3α ))=1+sin( (π-3α ))=

=1+sin3α=1+sin(2*3α/2)=sin²(3α/2)+cos²(3α/2)+2sin(3α/2)cos(3α/2)=

=свернем по ф. квадрат суммы=( cos(3α/2)+sin(3α/2) )²

$\frac{cos^{2}\frac{3\alpha }{2} -sin^{2} \frac{3\alpha }{2} }{(cos\frac{3\alpha }{2}+sin\frac{3\alpha }{2} )^{2} }$  =        

$=\frac{(cos\frac{3\alpha }{2} -sin \frac{3\alpha }{2})((cos\frac{3\alpha }{2} +sin \frac{3\alpha }{2}) }{(cos\frac{3\alpha }{2}+sin\frac{3\alpha }{2} )^{2} }$   = $\frac{cos\frac{3\alpha }{2} -sin \frac{3\alpha }{2} }{cos\frac{3\alpha }{2}+sin\frac{3\alpha }{2} }$

Преобразуем правую часть ctg( 5π/4+3α/2)=ctg( π+π/4+3α/2)=

=ctg( π/4+3α/2)= $\frac{-1+ctg\frac{\pi }{4}*ctg\frac{3\alpha }{2} }{ctg\frac{\pi }{4}+ctg\frac{3\alpha }{2} }$ = $\frac{-1+ctg\frac{3\alpha }{2} }{1+ctg\frac{3\alpha }{2} }$ = $\frac{-1+\frac{cos\frac{3\alpha }{2} }{sin\frac{3\alpha }{2} } }{1+\frac{cos\frac{3\alpha }{2} }{sin\frac{3\alpha }{2} } }$   =

$\frac{-sin\frac{3\alpha }{2}+cos\frac{3\alpha }{2} }{sin\frac{3\alpha }{2} } :\frac{sin\frac{3\alpha }{2}+cos\frac{3\alpha }{2} }{sin\frac{3\alpha }{2} }$  = $\frac{-sin\frac{3\alpha }{2}+cos\frac{3\alpha }{2} }{sin\frac{3\alpha }{2}+cos\frac{3\alpha }{y} }$  = $\frac{cos\frac{3\alpha }{2} -sin \frac{3\alpha }{2} }{cos\frac{3\alpha }{2}+sin\frac{3\alpha }{2} }$

Т.к левая часть равна правой , то тождество верное.