Question

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 5√2, а висота 6 см. Знайти площу діагонального перерізу цієї піраміди.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{S = 30}$ см²

Объяснение:

Дано: KABCD - правильна чотирикутна піраміда, $AD = 5\sqrt{2}$ см,

OK ⊥ ABC, OK = 6 см

Знайти: $S \ - \ ?$

Розв'язання:

За властивістю правильної піраміди її діагональним перерізом є трикутник, сторона якого проходить через центр правильного многокутника який лежить у основі піраміди.

З'єднаємо точки А і С, отже за означенням діагонального перерізу правильної піраміди трикутник ΔKAC - діагональний переріз піраміди KABCD.

За означенням правильної піраміди в її основі лежить правильний многокутник, а так як за умовою піраміда KABCD - чотирикутна піраміда, то ABCD - квадрат.

За властивістю квадрата усі його кути дорівнють 90°, а сторони рівні, отже кут ∠CDA = 90° і CD = AD = $5\sqrt{2}$ см.

Трикутник ΔCAD - прямокутний, так як кут ∠CDA = 90°, отже за теоремою Піфагора:

$AC = \sqrt{CD^{2} + AD^{2}} = \sqrt{(5\sqrt{2})^{2} + (5\sqrt{2})^{2} } = \sqrt{50 + 50} = \sqrt{100} = 10$ см.

За означенням пряма перпендикулярна до площини перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, тоді так як за умовою OK ⊥ ABC і AC ⊂ ABC, то OK ⊥ AC, отже

OK - висота трикутника ΔKAC.

За формулою площі трикутника:

$S = S_{зKAC} = \dfrac{OK \cdot AC}{2} = \dfrac{6 \cdot 10}{2} = 3 \cdot 10 = 30$ см².