Question

вычислите длину дуги кривой: y = ln cos x, пи/6 меньше или равно x меньше или равно пи/ 3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

длина дуги считается по формуле

$\displaystyle L=\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\sqrt{1+(y')^2} } \, dx$

$\displaystyle y'(x) = \bigg (ln(cosx) \bigg )' = \frac{1}{cosx} *(-sinx)=-\frac{sinx}{cosx}$

$\displaystyle L=\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\sqrt{1+\frac{sin^2x}{cos^2x} } } \, dx=\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\sqrt{\frac{sin^2+cos^2x}{cos^2x} } } \, dx=\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\frac{1}{cosx} } \, dx=$

$\displaystyle =\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\sqrt{\frac{cosx}{cos^2x} } } \, dx=\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3} {\sqrt{\frac{1}{1-sin^2x} } } \, d(sinx) = \frac{1}{2} ln\bigg |\frac{sinx+1}{sinx-1} \bigg | \bigg |_{-\pi /3}^{\pi /3}=\frac{1}{2} ln\bigg |\frac{2+\sqrt{3} }{2-\sqrt{3} } \bigg |$