Question

Высота правильной пирамиды МАБСД равна стороне основания. Считая АБ = а. Найдите расстояние от точки Д до следующих прямых
а) МС
б) Б1С точка Б1, которой является серединой рёбра МБ
в) А1С точка А1, которой является серединой рёбра МА

Answer 1

Поместим пирамиду в систему координат вершиной В в начало, ВА по оси Ох, ВС по оси Оу.

Пусть сторона основания и высота равны 1.

Координаты точек: А(1; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 1; 0), Д(1; 1; 0), М(0,5; 0,5; 1).

                                 В1(0,25; 0,25; 0,5), А1(0,75; 0,25; 0,5).

Векторы. МС: (-0,5; 0,5; -1),

                В1С(-0,25; 0,75; -0,5),

                 А1С(-0,75; 0,75; -0,5).

Уравнения прямых.

МС: (x-0.5)/(-0.5) = (y-0.5)/0.75 = (z-0.5)/-1.

B1C: (x-0.25)/(-0.25) = (y-0.25)/0.75 = (z-0.5)/(-0.5).

A1C: x/(-0.75) = (y-1)/0.75 = z/((-0.5).

1) Находим расстояние от точки Д до прямой МС:

s = -0.5; 0.5; -1   - направляющий вектор прямой;

M = 0.5; 0.5; 1   - точка лежащая на прямой.

Тогда

M0M = {Mx - M0x; My - M0y; Mz - M0z} = 0.5 - 1; 0.5 - 1; 1 - 0 = -0.5; -0.5; 1

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M и s:

S = |M0M × s|

M0M × s =  

 I      j      k

-0.5   -0.5     1

-0.5    0.5     -1 =

= i -0.5·(-1) - 1·0.5 - j -0.5·(-1) - 1·(-0.5) + k -0.5·0.5 - (-0.5)·(-0.5) =

= i 0.5 - 0.5 - j 0.5 + 0.5 + k -0.25 - 0.25 =

= 0; -1; -0.5

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M×s||s| = √(0² + (-1)² + (-0.5)²)) /√((-0.5)² + (0.5)² + (-1)²) = √1.25/√1.5 = √(5/6) = √30/6 ≈ 0.91287.

2) Находим расстояние от точки Д до прямой В1С:

s = -0.25; 0.75; -0.5   - направляющий вектор прямой;

B = 0.25; 0.25; 0.5   - точка лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = 0.25 - 1; 0.25 - 1; 0.5 - 0 = -0.75; -0.75; 0.5

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s =  

  i        j       k

-0.75  -0.75    0.5

-0.25  0.75   -0.5 =

= i -0.75·(-0.5) - 0.5·0.75 - j -0.75·(-0.5) - 0.5·(-0.25) + k -0.75·0.75 - (-0.75)·(-0.25) =

= i 0.375 - 0.375 - j 0.375 + 0.125 + k -0.5625 - 0.1875 =

= 0; -0.5; -0.75

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M1×s||s| = √(0² + (-0.5)² + (-0.75)²)/√((-0.25)² + (0.75)² + (-0.5)²) = √0.8125/√0.875 = √(13/14) = √182/14 ≈ 0.96362.

3) Находим расстояние от точки Д до прямой В1С:

s = -0.75; 0.75; -0.5   - направляющий вектор прямой;

C = 0; 1; 0   - точка лежащая на прямой.

Тогда

M0M1 = {M1x - M0x; M1y - M0y; M1z - M0z} = 0 - 1; 1 - 1; 0 - 0 = -1; 0; 0

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах M0M1 и s:

S = |M0M1 × s|

M0M1 × s =  

 i       j        k

-1         0         0

-0.75   0.75    -0.5 =

= i 0·(-0.5) - 0·0.75 - j -1·(-0.5) - 0·(-0.75) + k -1·0.75 - 0·(-0.75) =

= i 0 - 0 - j 0.5 - 0 + k -0.75 - 0 =

= 0; -0.5; -0.75

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):

d = |M0M1×s||s| = √(0² + (-0.5)² + (-0.75)²)/√((-0.75)² + (0.75)² + (-0.5)²) = √0.8125/√1.375 = √(13/22) = √286/22 ≈ 0.76871.