Ответы
За теоремою Вієта маємо :
х1+х2=-5,4
х1*х2=8,1
Відповідь : х1+х2=-5,4 ; х1*х2=8,1
Ответ:
Уравнение x²− 5,4 x + 8,1 = 0 не имеет действительных корней.
Объяснение:
Согласно теореме Виета:
сумма корней приведённого квадратного уравнения
x²− 5,4x + 8,1 = 0
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, то есть:
х₁+х₂= -(-5,4) = 5,4
а произведение этих корней равно свободному члену, то есть:
х₁ · х₂ = 8,1.
Если сумма двух корней равна 5,4, то их произведение меньше или равно (5,4/2)² = 2,7² = 7,29.
Это следует из того, что если оба корня = 2,7, то их сумма равна 5,4; а если уменьшать один из корней на число а, а второй корень увеличивать на а, то, перемножая корни, мы получим разность квадратов двух чисел, которая всегда меньше 2,7²:
(2,7 - а)· (2,7 + а) = 2,7² - а²
и
2,7² - а² < 2,7²
Так как 2,7² < 8,1, то это означает, что нет таких действительных значений х₁ и х₂, сумма которых была бы равна 5,4, а произведение было бы равно 8,1.
Вывод: уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение x²− 5,4 x + 8,1 = 0 не имеет действительных корней.
ПРИМЕЧАНИЕ
Редко, но такое бывает, когда уравнение не имеет действительных корней, поэтому правильно - сделать дополнительную проверку.
ПРОВЕРКА 1.
Что такое решение квадратного уравнения? Это точки пересечения графика функции x²− 5,4 x + 8,1 = 0 с осью х.
Применяя теорему Виета, мы пришли к выводу, что уравнение не имеет решений, то есть график функции x²− 5,4 x + 8,1 = 0 с осью х не пересекается. Проверим, так ли это.
Мы знаем, что координаты вершины параболы рассчитываются по формуле:
х₀ = -b/2a
y₀ = c - b²/4a.
В уравнении x²− 5,4 x + 8,1 = 0:
а = 1,
b = - 5,4
c = 8,1
Это значит, что координатами вершины параболы x²− 5,4 x + 8,1 = 0 являются точки:
х₀ = -b/2a = - (-5,4) / 2· 1 = 5,4 : 2 = 2,7
y₀ = c - b²/4a = 8,1 - (- 5,4)²/4· 1 = 8,1 + 29,16/4 = 8,1 + 7,29 = 15,39.
Получается, что ветви параболы направлены вверх (а>0); значит, её вершина является точкой минимума, и корни будут только тогда, когда вершина будет находиться ниже оси х, а она 15,39 не доходит до оси х; нет точек пересечения графика с осью - нет и корней. Вывод: уравнение x²− 5,4 x + 8,1 = 0 не имеет действительных корней.
ПРОВЕРКА 2.
Рассчитаем, чему равен дискриминант.
D = b² - 4ac = (-5,4)² - 4· 1 · 8,1 = 29,16 - 32,4 = - 3,24
Согласно определению, если дискриминант D < 0, то уравнение x²− 5,4 x + 8,1 = 0 не имеет действительных корней.