Question

Помогите пожалуйста решить задачу, только нужно полное решение даю 50 баллов

Точка M — середина ребра AD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M и B1 параллельно прямой A1C1.
б) В каком отношении плоскость сечения делит диагональ BD1 па- раллелепипеда

Answer 1

Ответ:

б) ВО : ОD₁ = 3 : 4

Объяснение:

а) Построим сечение параллелепипеда.

Проведем МК║АС. Так как АС║А₁С₁, то МК║А₁С₁.

Прямая МК пересечет прямые, содержащие ребра АВ и BC:

MK∩AB = G, MK∩BC = T.

Точки В₁ и G лежат в плоскости боковой грани, значит BG∩AA₁ = H.

Точки В₁ и Т лежат в плоскости задней грани, значит В₁Т∩СС₁ = Р.

МКРВ₁Н - искомое сечение.

б) Назовем секущую плоскость α.

α∩(BB₁D₁) = B₁E,

BD₁∩B₁E = O, значит BD₁ пересекает плоскость сечения в точке О.

Надо найти отношение ВО : ОD₁.

F - середина BD (точка пересечения диагоналей параллелограмма),

МК - средняя линия ΔACD, значит она делит пополам его медиану DF (по теореме Фалеса),

$DE=\dfrac{BD}{4}$    ⇒

$BE=\dfrac{3}{4}BD$

ΔBOE ~ ΔD₁OB₁ по двум углам (∠1 = ∠2 как накрест лежащие, углы при вершине О равны как вертикальные), тогда, учитывая, что BD = B₁D₁, получаем:

$\dfrac{BO}{OD_1}=\dfrac{BE}{B_1D_1}=\dfrac{\dfrac{3}{4}BD}{B_1D_1}=\dfrac{3}{4}$

ВО : ОD₁ = 3 : 4