Question

Очень срочно нужна помощь с примером. Нужно найти неопределенный интеграл. Отдаю все свои баллы,но помощь крайне необходима​

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{dx}{3 + 2 \cos(x) - \sin(x) }$

Тригонометрическая замена:

$\sin(x) = \frac{2t}{t {}^{2} + 1} \\ \cos(x) = \frac{1 - {t}^{2} }{1 + {t}^{2} } \\ x = tg \frac{x}{2} \\ dx= \frac{2dt}{t {}^{2} + 1}$

$\int\limits \frac{2dt}{t {}^{2} + 1} \times \frac{1}{3 + \frac{2(1 - {t}^{2}) }{t {}^{2} + 1} - \frac{2t}{t {}^{2} + 1} } = \\ = \int\limits \frac{2dt}{t {}^{2} + 1 } \times \frac{1 + {t}^{2} }{3( {t}^{2} + 1) + 2 - 2 {t}^{2} - 2t} = \\ = \int\limits \frac{2dt}{3 {t}^{2} + 3 - 2 {t}^{2} - 2t + 2} = \\ = \int\limits \frac{2dt}{ {t}^{2} - 2 t + 5} = \int\limits \frac{2dt}{t {}^{2} - 2 t + 1 + 4} = \\ = 2\int\limits \frac{d(t - 1)}{(t - 1) {}^{2} + {2}^{2} } = \\ = 2 \times \frac{1}{2} arctg( \frac{t - 1}{2} ) + C = \\ = arctg \frac{tg \frac{x}{2} - 1 }{2} + C$