Question

Даю 50 баллов! Срочно!
Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка, которое допускает понижение порядка.

Answer 1

Ответ:

Замена:

$y' = z(x) \\ y''= z'(x) \\ \\ {x}^{3}z' + {x}^{2} z = \sqrt{x} \\ | \div {x}^{3} \\ z' + \frac{z}{x} = \frac{1}{ {x}^{2} \sqrt{x} }$

Получили Линейное ДУ

Замена:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u$

$u'v + v'u + \frac{uv}{x} = \frac{1}{ {x}^{2} \sqrt{x} } \\ u'v + u( v' + \frac{v}{x} ) = \frac{1}{ {x}^{2} \sqrt{x} } \\ \\ 1) \frac{dv}{dx} = - \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = - ln(x) \\ v = \frac{1}{x} \\ \\ 2) \frac{du}{dx} \times \frac{1}{x} = \frac{1}{ {x}^{2} \sqrt{x} } \\ \int\limits \: du = \int\limits {x}^{ - \frac{3}{2} } dx \\ u = \frac{ {x}^{ - \frac{1}{2} } }{ - \frac{1}{2} } + C_1 = - \frac{2}{ \sqrt{x} } + C_1 \\ \\ z = \frac{1}{x} \times ( - \frac{2}{ \sqrt{x} } + C_1) \\ z = - \frac{2}{x \sqrt{x} } + \frac{C_1}{x} \\ \\ y= \int\limits( - \frac{2}{x \sqrt{x} } + \frac{c1}{x} )dx = \\ = - 2 \times ( - \frac{2}{ \sqrt{x} } ) + C_1 ln( |x| ) + C_2 = \\ = \frac{4}{ \sqrt{x} } + C_1 ln( |x| ) + C_2$

общее решение