Question

Помогите пожалуйста. СРОЧНО. ОЧЕНЬ ПРОШУ.
1. Найти интеграл, используя метод разложения.
2. Найти интеграл, используя метод замены.
3.Найти интеграл, используя метод интегрирования по частям.​

Answer 1

Ответ:

1.

По частям:

$u = x \: \: \: du = dx \\ dv = \cos {}^{2} (x) \: \: v = \int\limits \cos {}^{2} (x) dx = \int\limits \frac{1 + \cos(2x) }{2} dx = \\ = \frac{1}{2} (\int\limits \: dx + \frac{1}{2}\int\limits \cos(2x) d(2x) = \\ = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = x \times ( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x)) - \int\limits( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x)) dx = \\ = \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{x}{4} \sin(2x) - \frac{ {x}^{2} }{4} - ( - \frac{1}{8} ) \cos(2x) + c = \\ = \frac{ {x}^{2} }{4} + \frac{x}{4} \sin(2x) + \frac{1}{8} \cos(2x) + C$

2.

Замена:

$2 {x}^{3} + 5 =t \\ 6 {x}^{2} dx = dt \\ {x}^{2}dx = \frac{dt}{6} \\ \\ \frac{1}{6} \int\limits \frac{dt}{t} = \frac{1}{6} ln( |t| ) + C = \\ = \frac{1}{6} ln( |2 {x}^{3} + 5 | ) + C$

3

$\int\limits \frac{tg \frac{x}{2} }{1 - {tg}^{2}( \frac{x}{2} )} dx =$

Формула двойного угла:

$= \frac{1}{2}\int\limits \frac{2tg \frac{x}{2} }{1 - {tg}^{2} \frac{x}{2} } dx = \frac{1}{2} \int\limits \: tgxdx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{ \sin(x) }{ \cos(x) } dx = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d \cos(x)) }{ \cos(x) } = \\ = - \frac{1}{2} ln( | \cos(x) | ) + C$