Question

1) Обчислити площу фігури, що обмежена лінією {x=cos^3t яка задана параметрично.
{y=sin^3t ,
2) Обчислити площу фігури, що обмежена лінією p= cos*2φ в полярній системі координат.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

5)

$\displaystyle \left \{ {{x=cos^3t} \atop {y=sin^3t}} \right.$

это параметрическое уравнение астроиды

тут заморачиваться не надо, есть формула для расчета площади астроиды

$\displaystyle S=\frac{3\pi ab}{8}$

у нас a = b = 1

поэтому наша площадь будет равна

S = 3π /8

6) здесь у нас полярная роза с 4 лепестками.

один лепесток можно было бы просто посчитать от 0 до п/2, но мы уже посчитаем как положено от -п/4 до п/4 (это абсолютно равноплощадно)

площадь одного лепестка считаем по формуле площади криволинейного сектора

$\displaystyle S(G) = \frac{1}{2} \int\limits^{\phi_1}_{\phi_2} {\rho^2} \, d\phi$

$\displaystyle S_1=\frac{1}{2} \int\limits^{\pi /4}_{-\pi /4} {cos^2(2\phi)} \, d\phi=\frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}u=2\phi \quad du=2d\phi\\u_1=-\pi /2\hfill \\u_2=\pi /2\hfill\end{array}\right] =\frac{1}{4} \int\limits^{\pi /2}_{-\pi/2} {cos^2u} \, du =$

$\displaystyle =\frac{1}{4} \int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} {\frac{1}{2} cos(2u)} \, du+\frac{1}{4} \int\limits^{pi/2}_{-\pi/2} {\frac{1}{2} } \, du=\frac{1}{8} \left[\begin{array}{ccc}s=2u \quad ds=2du\\s_1=-\pi \hfill\\s_2=\pi\hfill\end{array}\right] +\frac{u}{8} \bigg |_{-\pi/2}^{\pi/2}=$

$\displaystyle =\frac{1}{16} \int\limits^{\pi}_{-\pi} {cos(s)} \, ds +\frac{\pi}{8} =0+\frac{\pi}{8} =\frac{\pi}{8}$

и тогда искомая полощадь

S = п/8 *4 = п/2