Question

10. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси ox фигуры ограниченной линиями( построить график)​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle V=\pi \int\limits^a_b {y^2} \, dx$

интеграл не очень простой, поэтому посчитаем сначала интеграл, потом домножим на п

$\displaystyle \int\limits^{\pi/2}_{-\pi/2} {cos^4x} \, dx =\left[\begin{array}{ccc} \int cos^mx =\displaystyle \frac{sinx*cos^{m-1}x}{m}+\frac{m-1}{m} \int cos^{m-1}xdx\\\\\end{array}\right] =$

$\displaystyle =\frac{1}{4} sinx*cos^3x \bigg |_{-\pi/2}^{\pi/2}+\frac{3}{4} \int \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} cos^2xdx=0+\frac{3}{4} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} cos(2x)dx+\frac{3}{4} \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} dx=$

$\displaystyle =\frac{3}{8} \left[\begin{array}{ccc}u=2x \quad du=2dx\\u_1=-\pi \hfill\\u_2=\pi \hfill\end{array}\right] +\frac{3x}{8} \bigg |_{-pi/2}^{\pi/2}=\frac{3}{16} \int\limits^\pi_{-\pi} {cosu} \, du \quad+ \frac{3\pi}{8} =0+\frac{3\pi}{8} =\frac{3\pi}{8}$

и теперь объем

$\displaystyle V= \pi*\frac{3\pi}{8} =\frac{3}{8} \pi^2$