Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения
y'√(1+y^2)=x^2/y

Answer 1

Ответ:

$y '\times \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \frac{dy}{dx} \times \sqrt{1 + {y}^{2} } = \frac{ {x}^{2} }{y} \\ \int\limits \: y\sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \int\limits {x}^{2} dx \\\frac{1}{2} \int\limits2y \sqrt{1 + {y}^{2} } dy = \frac{ {x}^{3} }{3} + c \\ \frac{1}{2} \int\limits {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{1}{2} } d( {y}^{2} + 1) = \frac{ {x}^{3} }{3} + c \\ \frac{1}{2} \times \frac{ {(1 + {y}^{2}) }^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C\\ \frac{1}{3} \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ \sqrt{ {(1 + {y}^{2}) }^{3} } = {x}^{3} + C$

общее решение