Question

Внутри угла AOB проведены две изогонали OP и OQ. Известно, что расстояние от точки P до прямой OA равно 1, а до прямой OB равно 2. Расстояние от точки Q до прямой OA равно 3. Чему равно расстояние от точки Q до прямой OB?

Answer 1

Внутри угла AOB проведены две изогонали OP и OQ. Известно, что расстояние от точки P до прямой OA равно 1, а до прямой OB равно 2. Расстояние от точки Q до прямой OA равно 3. Чему равно расстояние от точки Q до прямой OB?

Объяснение:

Т.к РР₁, РР₂, QQ₁,QQ₂, по условию расстояния, то

РР₁⊥ОА, РР₂⊥ОВ, QQ₁⊥ОА, QQ₂⊥ОВ и РР₁=2, РР₂=1 ,QQ₂=3 . Найти QQ₁.

1) ΔРР₂О подобен ΔQQ₁О  по 2-м углам :∠Р₂=∠Q₁=90°, ∠РОР₂=∠QOQ₁ тк изогонали симметричны относительно биссектрисы ОМ.

Значит сходственные стороны пропорциональны $\frac{OP}{OQ} =\frac{PP_2}{QQ_1}$ (*)

2) ΔРР₁О подобен ΔQQ₂О  по 2-м углам :∠Р₁=∠Q₂=90°, ∠РОР₁=∠QOQ₂  т.к. изогонали симметричны относительно биссектрисы ОМ ( см. чертеж, разными цветами изображены разные углы) .

Значит сходственные стороны пропорциональны $\frac{OP}{OQ} =\frac{PP_1}{QQ_2}$ (**)

3) учитывая  (*) и (**) $\frac{PP_2}{QQ_1} =\frac{PP_1}{QQ_2}$ ⇒$\frac{1}{QQ_1} =\frac{2}{3}$  , QQ₁=1,5 .