Question

ПОШАГОВО.Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение

второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,

которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.

$y||+y|=3cosx-sinx, y(0)=0, y(0)=1$

|-штрих

Answer 1

Ответ:

$y'' + y' = 3 \cos(x) - \sin(x)$

1. Решаем ОЛДУ:

$y''+ y'= 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (k {}^{2} + k ) = 0\\ k_1 = 0\\ k_2 = - 1 \\ \\ y = C_1 +C_2 {e}^{ - x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A\sin(x) + B \cos(x) \\ y '= A\cos(x) - B\sin(x) \\ y ''= - A \sin(x) - B \cos(x)$

Подставляем в НЛДУ:

$- A \sin(x) - B \cos(x) + A \cos(x) - B \sin(x) = 3 \cos(x) - \sin(x) \\ ( - A- B) \sin(x) + (A- B) \cos(x) = 3 \cos(x) - \sin(x) \\ \\ - A - B= - 1 \\ A- B= 3 \\ \\ A= 3 + B \\ - 3 - B - B= - 1 \\ \\ - 2B = 2 \\ B = - 1 \\ A= 3 - 1 = 2$

$y = 2 \sin(x) - \cos(x)$

Получаем общее решение:

$y = C_1 + C_2 {e}^{ - x} + 2 \sin(x) - \cos(x)$

$y(0) = 0,y'(0) = 1$

$y' = - C_2 {e}^{ - x} + 2 \cos(x) + \sin(x)$

$C_1 + C_2 - 1 = 0 \\ - C_2 + 2 = 1 \\ \\ C_2 = 1 \\ C_1 = 1 - C_2 = 0$

Частное решение:

$y = {e}^{ - x} + 2 \sin(x) - \cos(x)$