Question

Найди частные решения дифференциальных уравнений:
(х+3)dy- (y+2)dx=0, если у=3 х=2
​

Answer 1

Ответ:

$(x + 3)dy - (y + 2)dx = 0 \\ (x + 3)dy = (y + 2)dx \\ \int\limits \frac{dy}{y + 2} = \int\limits \frac{dx}{x + 3} \\ \int\limits \frac{d(y + 2)}{y + 2} = \int\limits \frac{d(x + 3)}{x + 3} \\ ln( |y + 2| ) = ln( |x + 3| ) + ln(C) \\ y + 2 = C(x + 3)$

общее решение

$y(2) = 3$

$3 + 2 = C(2 + 3) \\5 = 5 C \\ C = 1$

$y + 2 = x + 3 \\ y = x + 1$

частное решение

Answer 2

Ответ:

$(x+3)\, dy-(y+2)\, dx=0\ \ ,\ \ \ y(2)=3\ \ ,\\\\(x+3)\, dy=(y+2)\, dx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{dy}{y+2}=\dfrac{dx}{x+3}\ \ \ ,\ \ \ \int \dfrac{dy}{y+2}=\int \dfrac{dx}{x+3}\ \ ,\\\\ln|y+2|=ln|x+3|+lnC\\\\y+2=C(x+3)\ \ ,\ \ \ \boxed{\ y_{obshee}=C(x+3)-2\ }\\\\y(2)=3:\ \ 3=C(2+3)-2\ \ ,\ \ 5C=5\ \ ,\ \ C=1\\\\y_{chastnoe}=1\cdot (x+3)-2\ \ ,\ \ \boxed{\ y_{chastnoe}=x+1\ }$