Question

помогите с диф уравнениями​

Answer 1

Ответ:

везде замена:

$y = {e}^{kx}$

а)

$y'' - 13y' + 22y = 0 \\ {k}^{2} - 13k + 22 = 0\\ D = 169 - 88 = 81\\ k_1 = \frac{13 + 9}{2} = 11 \\ k_2 = 2 \\ y = C_1 {e}^{11x} + C_2 {e}^{2x}$

общее решение

б)

$y'' - 10y' + 89y = 0 \\ {k}^{2} - 10 k + 89 = 0 \\ D = 100 - 356 = - 256\\ k_1 = \frac{10 + \sqrt{ - 256} }{2} = \frac{10 + 16i}{2} = 5 + 8 i \\ k_2 = 5 - 8i \\ \\ y = {e}^{5x} (C_1 \sin(8x) + C_2 \cos(8x) )$

общее решение

в)

$9y'' + 48y' + 64y = 0 \\ 9k {}^{2} + 48k + 64 = 0\\ D =2304 - 2304 = 0 \\ k_1 = k_2 = \frac{ - 48}{2 \times 9} = - \frac{24}{9} = - \frac{8}{3} \\ \\ y = C_1 {e}^{ - \frac{8x}{3} } + C_2 {e}^{ - \frac{8x}{3} } x$

общее решение

$y(0)=-\frac{8}{3},y'(0)=\frac{64}{9}$

$y'=-\frac{8}{3}C_1e^{-\frac{8x}{3}}--\frac{8}{3}C_2e^{-\frac{8x}{3}}x+C_2e^{-\frac{8x}{3}}$

$-\frac{8}{3}=C_1+0\\\frac{64}{9}=-\frac{8}{3}C_1+0+C_2\\\\C_1=-\frac{8}{3}\\C_2=0$

$y=-\frac{8}{3}e^{-\frac{8x}{3}}$

частное решение