Question

(1+e^2y)y^2 *dy= e^x *dx

Answer 1

Ответ:

$(1 + {e}^{2y} ) {y}^{2} dy = {e}^{x} dx \\ \int\limits(1 + {e}^{2y} ) {y}^{2} dy = \int\limits{e}^{x} dx \\ \\ \int\limits(1 + {e}^{2y} ) {y}^{2} dy$

По частям:

$U = {y}^{2} \: \: \: \: \: \: dU = 2ydy \\ dV = (1 + {e}^{2y} )dy \: \: \: \: \: \: \: V = y + \frac{1}{2} {e}^{2y} \\ \\ \\ UV- \int\limits \: VdU = \\ = {y}^{2} (y + \frac{ {e}^{2y} }{2} ) - \int\limits2y(y + \frac{ {e}^{2y} }{2} )dy = \\ = {y}^{3} - \frac{ {y}^{2} {e}^{2y} }{2} - \int\limits(2 {y}^{2} + y {e}^{2y} )dy = \\ = {y}^{3} - \frac{ {y}^{2} {e}^{2y} }{2} - \frac{2 {y}^{3} }{3} - \int\limits \: y {e}^{2y} dy \\ \\ \\ U= y \: \: \: \: \: dU = dy \\ dV= {e}^{2y}dy \: \: \: \: V = \frac{ {e}^{2y} }{2} \\ \\ = \frac{ {y}^{3} }{3} - \frac{ {y}^{2} {e}^{2y} }{2} - ( \frac{y {e}^{2y} }{2} - \int\limits \frac{ {e}^{2y} }{2} dy) = \\ = \frac{ {y}^{3} }{3} - \frac{ {y}^{2} {e}^{2y} }{2} - \frac{y {e}^{2y} }{2} + \frac{ {e}^{2y} }{4} + C$

Получаем:

$\frac{ {y}^{3} }{3} - \frac{1}{2} {e}^{2y} ( {y}^{2} - y - \frac{1}{2} ) = {e}^{x} + C$

общее решение