Question

Решите пожалуйста линейное однородное уравнение второго порядка.

Answer 1

Ответ:

$y'' + 4y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 4) = 0 \\ k {}^{2} = - 4 \\ k = \pm2i \\ \\ y = C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)$

общее решение

$y( \frac{\pi}{4} ) = 1,y'( \frac{\pi}{4} ) = - 2$

$y' = 2C_1 \cos(2x) - 2C_2 \sin(2x)$

$1 = C_1 \sin( \frac{\pi}{2} ) + C_2 \cos( \frac{\pi}{2} ) \\ - 2 = 2C_1 \cos( \frac{\pi}{2} ) - 2C_2 \sin( \frac{\pi}{2} ) \\ \\ C_1 = 1\\ - 2C_2 = - 2 \\ \\ C_1 = 1\\ C_2 = 1$

$y = \sin(2x) + \cos(2x)$

частное решение