Question

y11-2y+5y=21cos2x - sin 2x
???

Answer 1

Ответ:

Это неоднородное уравнение 2 порядка.

1) Решаем однородное.

y''+2y'+5y=0

Характеристическое уравнение

k^2+2k+5=0

k^2+2k+1+4=(k+1)^2+2^2=0

Его корни комплексные

k1=-1-2i; k1=-1+2i

Решение однородного уравнения

y0=e^(-x)*(C1*cos 2x + C2*sin 2x)

2) Решаем неоднородное.

y~=Acos 2x+Bsin 2x

(y~)'=-2Asin 2x+2Bcos 2x

(y~)''=-4Acos 2x-4Bsin 2x

Подставляем в уравнение

-4Acos 2x-4Bsin 2x-4Asin 2x

+4Bcos 2x+5Acos 2x+5Bsin 2x=

=-sin 2x(y~)''=-4Acos 2x-4Bsin 2x

Подставляем в уравнение

-4Acos 2x-4Bsin 2x-4Asin 2x

+4Bcos 2x+5Acos 2x+5Bsin 2x=

=-sin 2x

Коэф-нты при sin и при cos должны быть равны слева и справа.

-4А+4В+5А=A+4B=0

-4B-4A+5B=-4A+B=-1

Умножаем 1 ур-ние на 4

4A+16B=0

-4A+B=-1

Складываем уравнения

17B=-1; B=-1/17

4A=B+1=-1/17+1=16/17; A=4/17

Подставляем в функцию y~

y~=4/17*cos 2x - 1/17*sin 2x

Итоговый ответ: y=y0+y~

y=e^(-x)(C1*cos 2x + C2*sin 2x) +4/17*cos 2x - 1/17*sin 2x

Можно упростить

y=(C1*e^(-x)+4/17)*cos 2x +

+ (C2*e^(-x)-1/17)*sin 2x

Пошаговое объяснение:

надеюсь помогла