Question

Даю 100 баллов помогите решить Д.У второго порядка

Answer 1

Ответ:

1.

$y'' + y' + y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (k {}^{2} + k + 1) = 0 \\ D= 1 - 4 = - 3 \\ k_1 = \frac{ - 1 + \sqrt{ - 3} }{2} = \frac{ - 1 + \sqrt{3}i }{2} = \\ = - \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ k_2 = - \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2} i \\ \\ y = e {}^{ - \frac{x}{2} } (C_1 \sin( \frac{ \sqrt{3} x}{2} ) + C_2 \cos( \frac{ \sqrt{3} x}{2} ) )$

общее решение

2.

$y'' - 3y' + 2y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 3 k + 2) = 0 \\ D= 9 - 8 = 1 \\ k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ k_2 = 1 \\ \\ y = C_1 {e}^{2x} + C_2 {e}^{x}$

общее решение

$y(0) = 3,y'(0) = 4$

$y' = 2C_1 {e}^{2x} + C_2 {e}^{x}$

$C_1 + C_2 = 3 \\ 2C_1 + C_2 = 4 \\ \\ C_2 = 2 \\ C_1= 1$

$y = {e}^{2 x} + {e}^{x}$

частное решение