Question

Решите уравнение:
$\int\limits^x_0 {3x^2} \, dx =6-5x$

Answer 1

Ответ:

$x=1.$

Объяснение:

Сначала возьмём интеграл в левой части уравнения:

$\int 3x^2 \, \text{d}x = 3 \int x^2 \, \text{d}x = 3 \cdot \frac{1}{3} x^3 = x^3.\\(x^3)|_0^x = x^3 - 0^3 = x^3.$

Получаем:

$x^3 = 6 - 5x.$

Перенесём всё в левую часть:

$x^3+5x-6=0.$

Если в уравнении, заданном многочленом с целочисленными коэффициентами, сумма всех коэффициентов равна нулю, то один из корней уравнения обязательно является единицей, $x_1=1$. Докажем, что остальных корней нет.

Попробуем поделить многочлен в левой части на двучлен $x-1$. Затем попробуем решить получившееся квадратное уравнение:

$(x^3+5x-6)\!:\!(x-1)=x^2+x+6.$

Деление удалось, то есть единица, как уже известно, действительно является корнем. Теперь попробуем решить квадратное уравнение:

$x^2+x+6=0;\\D=1-4\cdot6 = 1 - 24 = -23.$

Дискриминант отрицателен, поэтому у квадратного уравнения нет действительных корней. Получается, что у исходного кубического уравнения нет иных действительных корней кроме единицы. Таким образом, единственный корень уравнения — 1.