Question

докажи тождество: sin2x+sin4x+sin6x+sin8x=4cosx*cos2x*sin5x
доказать нужно что левая часть равна правой

Answer 1

$Sin2x+Sin4x+Sin6x+Sin8x=(Sin2x+Sin8x)+(Sin6x+Sin4x)=\\\\=2Sin\frac{2x+8x}{2} Cos\frac{2x-8x}{2}+2Sin\frac{6x+4x}{2}Cos\frac{6x-4x}{2} =\\\\=2Sin5xCos3x+2Sin5xCosx=2Sin5x(Cos3x+Cosx)=\\\\=2Sin5x*2Cos\frac{3x+x}{2}*Cos\frac{3x-x}{2} =\boxed{4Sin5xCos2xCosx}$