Question

Вычислить площадь фигуры ​

Answer 1

Ответ:

$r = 1 + \cos(\phi)$

Область определения:

$r \geqslant 0 \\ 1 + \cos(\phi) \geqslant 0 \\ \cos(\phi) \geqslant - 1$

То есть "фи" - любое

Рисунок

$\phi = 0, r = 1 \\ \phi = \frac{ \pi}{4}, r = \frac{ \sqrt{2} }{2} + 1 \\ \phi = \frac{\pi}{3} ,r = \frac{3}{2} \\ \phi = \frac{\pi}{2} ,r = 1$

По формуле:

$S = \frac{1}{2} \int\limits^{ \alpha } _ { \beta } {r}^{2} (\phi)d\phi \\ \\ \alpha = 0 \\ \beta = 2\pi \\ \\ S= \frac{1}{2} \int\limits^{ 2 \pi} _ {0}(1 + \cos(\phi)) {}^{2} d\phi = \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{ 2 \pi} _ {0}(1 + 2 \cos(\phi) + \cos {}^{2} (\phi))d\phi = \\ = \frac{1}{2} (\phi + 2 \sin(\phi) +\int\limits^{ 2 \pi} _ {0} \frac{1 + \cos(2\phi) }{2}d \phi) = \\ = \frac{1}{2} (\phi + 2\sin(\phi) + \frac{1}{2}(\phi + \frac{1}{2} \sin(2\phi))) = \\ = \ \frac{3\phi}{4} + \sin(\phi) + \frac{1}{8} \sin(2\phi)) |^{ 2\pi } _ {0} = \\ = \frac{3\pi}{2} + 0 + 0 - 0 - 0 = \frac{3\pi}{2}$