Question

прямые АВ АС и АD попарно перпендикулярны найти длину отрезка СD если AD=а, ВС=в, ВD=c
​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{ DC = \sqrt{2a^{2} + b^{2} - c^{2}} }$

Объяснение:

Дано: AC ⊥ AB, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB, AD = а, ВС = b, ВD = c

Найти: CD - ?

Решение:

Взаимно перпендикулярные АВ, АС и АD образуют пирамиду ABCD. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников

ΔABC, ΔADC, ΔABD:

$\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = BC^{2} \\ AB^{2} + AD^{2} = BD^{2} \\ AD^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$  $\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = b^{2} \\ AB^{2} + a^{2} = c^{2} \\ a^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$ $\left \{\begin{array}{l} AB^{2} + AC^{2} = b^{2} \\ AB^{2} = c^{2} - a^{2} \\ a^{2} + AC^{2} = DC^{2} \end{array} \right$

$\displaystyle \left \{ {{ c^{2} - a^{2} + AC^{2} = b^{2} } \atop { a^{2} + AC^{2} = DC^{2} }} \right.$ $\displaystyle \left \{ {{ AC^{2} = a^{2} + b^{2} - c^{2} } \atop { a^{2} + AC^{2} = DC^{2} }} \right \Longrightarrow DC^{2} = a^{2} + a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2a^{2} + b^{2} - c^{2}$

$DC^{2} = 2a^{2} + b^{2} - c^{2} \Longrightarrow \boxed{ DC = \sqrt{2a^{2} + b^{2} - c^{2}} }$