Question

Какие остатки могут получиться при делении
квадрата натурального числа на 13?​

Answer 1

Каждое натуральное число можно представить в виде $13n\pm k$, где к пробегает значения от 0 до 6. Так, число 5=13·0+5; 7=13·1-6; 25=13·2-1.

Возводя его в квадрат, получим $169n^2\pm 26 nk+k^2=13(13n^2\pm 2 nk)+k^2.$

Поэтому для ответа на вопрос достаточно найти остатки при делении на 13 чисел вида k², где k пробегает значения от 0 до 6.

Имеем: 0²=0 - остаток 0.

1²=1 - остаток 1.

2²=4 - остаток 4.

3²=9 - остаток 9.

4²=16=13+3 - остаток 3.

5²=25=13+12 - остаток 12.

6²=36=26+10 - остаток 10.

Ответ: 0; 1; 3; 4; 9; 10; 12.