Question

Вычислить дифференциальное уравнение первого порядка:

Answer 1

Ответ:

$y '= \frac{ {x}^{2} + yx - 3 {y}^{2} }{ {x}^{2} - 4xy}$

Это однородное ДУ

$y' = \frac{ {y}^{2} + xy - 3 {y}^{2} }{ {x}^{2} - 4xy} \times \frac{ \frac{1}{ {x}^{2} } }{ \frac{1}{ {x}^{2} } } \\ y '= \frac{1 + \frac{y}{x} - \frac{3 {y}^{2} }{ {x}^{2} } }{1 - \frac{4y}{x} } \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = \frac{1 + u- 3 {u}^{2} }{1 - 4u} \\ u'x = \frac{1 + u - 3 {u}^{2} - u(1 - 4u)}{1 - 4u} \\ u'x = \frac{1 +u - 3 {u}^{2} - u + 4 {u}^{2} }{1 - 4u} \\ \frac{du}{dx} x = \frac{ {u}^{2} + 1 }{1 - 4u} \\ \int\limits \frac{1 - 4u}{ {u}^{2} + 1 } du = \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{du}{u {}^{2} + 1 } - \int\limits \frac{2 \times 2u}{u {}^{2} +1 } du = ln( |x| ) + c \\ arctgu - 2\int\limits \frac{d(u {}^{2} + 1)}{u {}^{2} + 1 } = ln( |x| ) + C\\ arctgu - 2 ln( | {u}^{2} + 1| ) = ln( |x| ) + C\\ arctg \frac{y}{x} - 2 ln( | \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } + 1| ) = ln( |x| ) + C$

общее решение