Question

НАЙДИТЕ ИНТЕГРАЛЫ, ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

д

$\int\limits \frac{x + 1}{ {x}^{2} + 5x + 7} dx$

делаем производную знаменателя в числителе

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{2x + 2}{ {x}^{2} + 5x + 7} dx = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x + 5 - 3}{ {x}^{2} + 5x + 7 } dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{2x + 5}{ {x}^{2} + 5x + 7} dx - \frac{1}{2} \int\limits \frac{3}{ {x}^{2} + 5x + 7} dx = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 5x + 7) }{ {x}^{2} + 5x + 7} - \frac{3}{2} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 2 \times x \times \frac{5}{2} + \frac{25}{4} + \frac{3}{4} } = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 5x + 7| ) - \frac{3}{2} \int\limits \frac{d(x + \frac{5}{2}) }{ {(x + \frac{5}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{3} }{2} )}^{2} } = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 5x + 7| ) - \frac{3}{2} \times \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } arctg( \frac{x + \frac{5}{2} }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } ) + C = \\ = \frac{1}{2} ln( | {x}^{2} + 5x + 7 | ) - \sqrt{3} arctg( \frac{2x + 5}{ \sqrt{3} } ) + C$

е

$\int\limits \frac{x - 1}{ \sqrt{ {x}^{2} - 2x + 3} } x$

Делаем производную знаменателя в числителе

$\frac{1}{2} \int\limits \frac{(2x - 2)dx}{ \sqrt{ {x}^{2} - 2x + 3 } } = \frac{1}{2}\int\limits \frac{d( {x}^{2} - 2x + 3) }{ {( {x}^{2} - 2x + 3) }^{ \frac{1}{2} } } = \\ = \frac{1}{2} \times \frac{ {( {x}^{2} - 2x + 3)}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \sqrt{ {x}^{2} - 2x + 3} + C$