Question

Найдите неопределенный интеграл

Answer 1

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{2x^2+3x}$

Преобразуем подынтегральное выражение методом неопределенных коэффициентов:

$\dfrac{1}{2x^2+3x}=\dfrac{1}{x(2x+3)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x+3}$

Для определения коэффициента $A$ домножим все части равенства на $x$ и положим $x=0$. Отсюда, $A=\tfrac{1}{3}$.

Аналогично для второй дроби при домножении на $2x+3$ и $x=-\tfrac{3}{2}$, $B=-\tfrac{2}{3}$.

Таким образом,

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{2x^2+3x}=\dfrac{1}{3}\cdot\int\dfrac{dx}{x}-\dfrac{2}{3}\cdot\int\dfrac{dx}{2x+3}=\dfrac{1}{3}\ln|x|-\dfrac{1}{3}\ln\big|2x+3\big|=\dfrac{1}{3}\ln\bigg|\dfrac{x}{2x+3}\bigg|$