Question

49 БАЛЛОВ. Решить задачу с параллелограммом

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Продлим AK до пересечения с прямой DC. Пусть точка пересечения будет иметь имя E. Т.к. KC равна половине AD и KC||AD, то KC - это средняя линия треугольника AED. Тогда DE=2DC=2AB. Треугольники ABP и DPE подобны с коэффициентом подобия $k=\dfrac{1}{2}$. Тогда их площади относятся, как $k^2=\dfrac{1}{4}$, т.е. $S_{DPE}=4S_{ABP}$. Теперь заметим, что по второму признаку равенства треугольников ΔABK=ΔECK. Тогда $S_{DPE}=S_{ECK}+S_{PKCD}=S_{ABK}+S_{PKCD}=S-S_{APD}$, где S - площадь исходного параллелограмма ABCD. Обратим теперь внимание, что $S_{APD}=S_{APQ}+S_{AQD}$. Но $S_{AQD}=S_{ABQ}$. Значит $S_{APD}=S_{APQ}+\dfrac{S_{ABD}}{2}$. Подставляя в равенство выше, имеем, что $S_{DPE}=S-S_{APQ}-\dfrac{S_{ABD}}{2}$. Не забывая, что $S=2S_{ABD}$, приходим к тому, что $S_{DPE}=\dfrac{3S_{ABD}}{2}-S_{APQ}$. Теперь проделаем похожую работу для $S_{ABP}$. Для этого выполним преобразования: $S_{ABP}=S_{ABD}-S_{APD}=S_{ABD}-S_{APQ}-S_{AQD}=\dfrac{S_{ABD}}{2}-S_{APQ}$. Теперь вернемся к тому, что $\dfrac{3S_{ABD}}{2}-S_{APQ}=4\left(\dfrac{S_{ABD}}{2}-S_{APQ}\right)$.

$\dfrac{3S_{ABD}}{2}-S_{APQ}=2S_{ABD}-4S_{APQ}\\3S_{APQ}=\dfrac{S_{ABD}}{2}\\\dfrac{S_{ABD}}{S_{APQ}}=6$

Так мы получили, что $S_{ABD}:S_{APQ}=6:1$.

Задача решена!

Приведу другой способ решения:

Пусть пересечение AK и прямой, проходящей через точку C параллельной BD, будет называться точкой E. Тогда, рассмотрев подобие треугольников AEC и APQ, а также, увидев, что ΔKEC=ΔKBP, можно, применив аналогичный решению выше подход, за более короткое число преобразований прийти к верному ответу. Требуемое дополнительное построение показано в прикрепленном к решению рисунке. Такой способ, пожалуй, даже лучше приведенного выше.