Question

Дана функция
f(x)=x²/2 +8/x²
1)найти критические точки ф.у
2)определите промежуток монотонности

Answer 1

Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю - это критические точки.

D(у)=(-∞;0)∪(0;+∞)

у'=2x/2+8*(-2x⁻³)=x-16/x³=(-16+x⁴)/x³; В точке х=0 производная не существует, но она не из области определения. поэтому -16+х⁴=0;

(-4+х²)*(4+х²)=0; 4+х²≠0; -4+х²=0; х=±2;

х=±2- критические точки.

2) определим промежутки возрастания и убывания функции, то есть промежутки монотонности.

_____-2 ________0________2________

-                 +                  -              +

Функция убывает на промежутках (-∞; -2] и  (0;2] и возрастает на [-2;0) И [2;+∞)

Answer 2

Ответ:

$f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{8}{x^2}\ \ ,\ \ \ \ OOF:\ x\ne 0\ \ ,\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot 2x+\dfrac{-8\cdot 2x}{x^4}=x-\dfrac{16}{x^3}=\dfrac{x^4-16}{x^3}=\dfrac{(x-2)(x+2)(x^2+4)}{x^3}\ ,\\\\f'(x)=0\ \ \Rightarrow \ \ \ x_1=-2\ ,\ x_2=2\ \ ,\ \ \ x\ne 0\ ,\\\\znaki\ f'(x):\ \ ---(-2)+++(0)---(2)+++\\{}\qquad \qquad \qquad \quad \, \searrow \ \ (-2)\ \ \nearrow \ \ \ (0)\ \ \searrow \ \ \ (2)\ \ \nearrow \\{}\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \, min\qquad \qquad \qquad \ \, \quad \min$

1)  Критические точки:  $x=-2\ ,\ x=2\ \ ,\ \ y(-2)=y(2)=4$  ,

   $A(-2;4)\ ,\ B(-2;4)$

2)  Функция возрастает при  $x\in [-2;0)$  и  $x\in [\ 2\ ;+\infty \, )$  ,

    убывает при  $x\in (-\infty ;-2\ ]$   и   $x\in (\ 0\ ;\ 2\ ]$  .