Question

СРОЧНО!ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длины равны a.

1. Постройте угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания и обоснуйте построение
2. Найдите косинус данного угла

Answer 1

Так как боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а их длины равны, то в основании имеем правильный треугольник и пирамида правильная.

Находим сторону основания с как гипотенузу при катетах а:

с = а√2.

Апофема А боковой грани как медиана из прямого угла равнобедренного треугольника равна половине гипотенузы.

А = а√2/2.

Плоский угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости - это и есть угол наклона между апофемой А и высотой основания h.

Для правильного треугольника h = c√3/2 = a√2*(√3/2) = a√6/2.

Проекция апофемы на основание для правильного треугольника равна (1/3)h = a√6/6.

Получаем ответ:

1) Задаёмся величиной а (удобной для размещения в тетради).

  Откладываем проекцию апофемы a√6/6.

  Из конца отрезка восстанавливаем перпендикуляр.

  Со второго конца делаем засечку радиусом, равным апофеме a√2/2.

  Точка пересечения - это вершина пирамиды.

   Угол построен.

2) cos α = (a√6/6) / (a√2/2) = √3/3

   Угол равен 0,955316618 радиан или  54,73561032 градуса.